Materi Geometri Analitik (KONKRUENSI SEGITIGA)

BAB III

KONKRUENSI SEGITIGA

PENDAHULUAN

Pada kondisional jika p maka q, disebut anteseden dan q disebut konsekuen. Tabel kebenaran dari kondisional ini dapat dilihat pada tabel berikut ini.

p                                             q                                             p→q

B                                             B                                             B

B                                             S                                              S

S                                              B                                             B

S                                              S                                              B

Jadi kalau p bernilai benar dan p → q bernilai benar maka dapat dipastikan bahwa q juga bernilai benar. Dalam geomerti hal ini selanjutnya ditetapkan sebagai aksioma.

Aksioma

Jika diketahui bahwa p→q benar serta p benar maka q benar

Penggunaan dalam geometri misalnya

Jika suatu segitiga samakaki maka sudut-sudut alasnya konkruen.

Diketahui ∆ ABC samakaki dengan sudut alasnya ∠ B  dan ∠ C maka dapat disimpulkan bahwa ∠ B ≅ ∠ C

TEOREMA-TEOREMA SEDERHANA

a.     Teorema Kenkruensi Sudut Siku-siku

Jika dua sudut masing-masing sudut siku-siku maka mereka konkruen dan ∠ PQR siku-siku. Maksud dari teorema ini jika diketahui ∠ ABC siku siku dan ∠ PQR siku-siku maka ∠ ABC ≅ ∠ PQR

     

A                                                                                                             P

  

B                                             C             R                                             Q

Bukti:

Diketahui ∠ ABC siku-siku maka menurut definisi m ∠ABC=90⁰

Demikian pula diketahui  ∠PQR siku-siku maka m ∠PQR=90⁰

Menggunakan sifat simetris karena m ∠PQR = 90 ⁰ maka 90⁰= ∠PQR

Karena m ∠ABC = 90⁰ dan 90 = m ∠PQR menurut sifar transitif relasi “=” maka m ∠ABC =m ∠PQR, sehingga menurut definisi konkruensi sudut disimpulkan ∠ ABC ≅ ∠ PQR

b.    Teorema Konkruensi Sudut Lurus

Jika dua sudut adalah lurus maka mereka konkruen

Misalnya,  ∠A sudut lurus dan ∠B sudut lurus maka∠ A ≅ ∠B

c.     Teorema Sudut Beruplemen

Jika dua sudut masing-masing bersuplemen dengan suatu sudut (yang sama) maka mereka konkruen

Maksud dari teorema ini adalah jika ∠ A bersuplemen dengan ∠P dan ∠B bersuplemen dengan∠ P maka ∠A ≅ ∠ B

d.    Teorema Sudut Berkomplemen

Jika dua sudut masing-masing berkomplemen dengan suatu sudut yang sama maka mereka konkruen

e.     Teorema 5

Jika dia sudut masing-masing merupakan suplemen dari dua sudut yang konkruen maka mereka konkruen

Misalnya;      ∠A bersuplemen dengan ∠P

                                ∠ B bersuplemen dengan ∠Q serta ∠ P  ∠Q

Maka  ∠A   ∠ B

f.      Teorema 6

Jika dua sudut masing-maasing berkomplemen dengan sudut-sudut yang konkruen maka mereka konkruen.

Berikut ini akan dibicarakan tentang sudut-sudut bertolak belakang. Sebelumnya didefinisikan dulu tentang sinar-sinar berlawanan sebagai berikut:

Definisi

Sinar-sinar berlawanan adalah dua sinar yang berbeda pada garis yang sama dan bersekutu di titik pangkalnya.

                                          .

          C                             A                             B

AB dan AC adalah sinar berlawanan

Selanjutnya sudut lurus dapat dinyatakan seperti definisikan berikut ini

Definisi

Sudut lurus adalah sudut yang kaki-kakinya merupakan sinar-sinar berlawanan.

Definisi

Sudut – sudut bertolak belakangan adalah dua sudut sedemikian sehingga kaki-kaki sudut yang satu merupakan sinar – sinar berlawanan dengan kaki-kaki sudut kedua.

                          A                                                             D

                                                          3

                                          1                             2

                                                          B

                          C                                                             E

g.     Teorema Sudut Bertolak Belakang

Jika dua sudut bertolak belakang maka mereka konkruen

Maksudnya ∠1 dan ∠2 adalah sudut – sudut bertolak belakang maka ∠ 1 ≅ ∠ 2

Bukti

Perhatikan gambar di atas.

Diketahui ∠1 dan ∠ 2 bertolak belakang, maka menurut definisi BA dan BE sinar – sinar berlawana . Karena itu menurut definisi  sudut lurus berarti ∠ABE adalah sudut lurus, sehinggan m∠ ABE =180.Menurut definisi jumlah sudut

M∠2+  m∠ 3 =m ∠ABE ,karena m ∠ABE =180 maka m ∠2 + m∠3=180.

Menurut definisi sudut bersuplemen maka ∠2 dan ∠3 bersuplemen . Dengan cara serupa menurut definisi BC dab BD sinar – sinar berlawanan . Karena itu menurut definisi sudut harus berarti ∠CBD adalah sudut lurus , sehingga m∠ CBD=180.

Menurut definisi jumlah m ∠1 + m ∠3 = ∠CBD, karena  m ∠CBD =180 maka m∠ 1 + m∠ 3 =180. Menurut definisi sudut bersuplemen maka ∠1 dan ∠3 bersuplemen. Karena itu ∠1 dan ∠3 bersuplemen dan ∠2 dan∠ 3 juga bersuplemen menurut teorema sudut bersuplemen ∠ 1 ≅ ∠2.

          Teorema berikut ini teorema yang menyangkut bilangan real, penggunaanya dalam geometri tentu saja yang berhubungan dengan ukuran baik ukuran sudut maupun ukuran segmen.

h.    Teorema 8

Untuk a,b,x dan y bilangan real ,jika a = x ,b = y dan x = y maka a = b

Bukti

Diketahui a = x dan x = y menggunakan sifat transitif relasi sama dengan di dapat a = y. Diketahui juga b = y menurut sifat simetri maka y = x .Selanjutnya dari a = y dan y = x menggunakan sifat transitif didapat a = b.

Dalam terapannya teorema ini dibagi dua teorema yaitu teorema konkruensi segmen atau ruas garis dan teorema konkruensi sudut seperti berikut ini.

i.      Teorema Konkruensi Segmen

Jika dua segmen masing – masing konkruen dengan segmen – segmen yang konkruen maka mereka konkruen.

Misalnyal AB ≅ PQ ,CD ≅ RS ,dan PQ ≅ RS maka AB ≅ CD

j.      Teorema Konkruensi Sudut

Jika dua susut masing – masing konkruen dengan sudut – sudut yang konkruen maka mereka konkruen

Misalnya ∠A ≅ ∠P , ∠B ≅ ∠Q serta ∠P ≅ ∠Q maka ∠A ≅ ∠B

SEGITIGA KONKRUEN

Poligon

Suatu poligon adalah gabungan dari himpunan titik P₁,P₂,P₃,....,P_n dan ruas garis –ruas garis P₁P₂ , P₂P₃ , P₃P₄.......P_n-1P_n ,sehingga jika dua ruas garis berpotongan maka titik potongnya adalah satu dari titik – titik P₁,P₂,P₃.....P_n dan bukan titik yang lain .

Titik – titik P₁,P₂,P₃.....P_n masing – masing disebut titik sudut . Ruas garis – ruas garis disebut sisi- sisi poligon dan P₁,P₂,P₃.....P_n disebut sudut – sudut poligon.

Korespondensi pada poligon

Jika dua poligon mempunyai jumlah titik sudut yang sama maka dapat diadakan korespondensi satu – satu antara titik sudut – titik sudutnya. Misalnya poligon ABCD dan poligon PQRS dapat diadakan korespondensi satu – satu seperti berikut ini :

ABCDE PQRST atau ABCDE RSTPQ

ABCDE TPQRS dan sebagainya

Jika ABCDE berkorespondensi  dengan PQRST berarti

∠A ∠P , ∠B ∠Q dan seterusnya

AB PQ ,CD RS dan seterusnya

Definisi

Sudut – sudut koresponding dari dua poligon adalah dua sudut yang titik titik sudutnya merupakan pasangan dalam korespondensi antara titik – titik sudut kedua poligon .

Definisi

Sisi – sisi koresponding dari dua poligon antara dua sisi yang titik – titik ujungya merupakan pasangan elemen yang berkorespondensi dalam korespondensi antara titik – titik sudut kedua poligon.

Poligon konkruen

Dua poligon dikatakan konkruen jika terdapat korespondensi satu – satu antara titik – titik sudutnya sehingga semua sisi korespondingnya konkruen dan semua sudut korespondingnya konkruen

Jadi jika ABCD konkruen dengan PQRS ditulis ABCD PQRS maka

AB ≅ PQ , CD ≅ RS , BC ≅ QR dan AD ≅ PS serta

∠A ≅ ∠P,  ∠B ≅ ∠Q , ∠C ≅ ∠R , ∠D ≅ ∠S dan sebalinya

Konkruensi Segitiga

Segitiga adalah segitiga yang mempunyai tiga sisi

Khusus untuk segitiga konkruensi dua segitiga dinyatakan oleh aksioma sisi sudut sudut berikut ini,

Aksioma S-SD-S

Dua segitiga dikatakan konkruen jika terdapat korespondensi satu – satu antara titik – titik sudutnya sehingga dua sisi dan sudut apitnya dari segitiga pertama konkruen dengan bagian – bagian korespondingnya pada segitiga kedua.

Aksioma SD-S-SD

Dua segitiga dikatakan konkruen jika terdapat korespondensi satu – satu antara titik – titik sudutnya sehingga dua sisi dan sisi yang memuat sudut itu pada segitiga pertama konkruen dengan bagian – bagian korespondingnya pada segitiga kedua.