Persamaan Lingkaran

A. Pengertian Persamaan Lingkaran 


Lingkaran merupakan himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik. Koordinat dari titik-titik tersebut ditentukan lewat susunan persamaan lingkaran. Ini ditentukan berdasarkan panjang jari-jari dan koordinat titik pusat lingkaran.

 









Dalam Persamaan lingkaran, terdapat persamaan umum, seperti dibawah ini :

Dari persamaan diatas, dapat ditentukan titik pusat serta jari-jari lingkarannya, yaitu:

Titik pusat lingkaran

P(a, b) = P(- \frac{1}{2}A, - \frac{1}{2}B)

Dan untuk jari-jari lingkaran adalah

r= \sqrt{(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{1}{2}b)^2- C} = \sqrt{\frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C}

CONTOH SOAL
Jari-jari dan pusat lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0 adalah... Tentukan:
a) titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran

PEMBAHASAN
x2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0

A = 4
B = −6
C = −12

Pusat:



Jari-jari:



Sehingga jari-jari dan pusatnya adalah 5 dan (−2, 3).


B. Persamaan Lingkaran pada koordinat (a,b) dan jari-jari r

Dari sebuah lingkaran jika diketahui titik pusat dan jari-jari nya, akan didapatkan yaitu dengan rumus :

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

Dari persamaan diatas, juga dapat ditentukan letak suatu titik terhadap lingkaran tersebut


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Contoh:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3,-2) dan melalui titik (5,4).

Pembahasan:

(x – 3)2 + (y – (-2))2 = r2
(x – 3)2 + (y + 2)2 = r2           __-> melalui (5,4)
(5 – 3)2 + (4 + 2)2 = r2
22 + 62 = r2
4 + 36 = r2
r2 =40

jadi, persamaan lingkarannya adalah (x – 3)2 + (y + 2)2 = 40


C. Persamaan lingkaran dengan dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r

Persamaan lingkaran jika titik pusat di O(0,0), maka subtitusi pada bagian sebelumnya, yaitu:

(x-0)^2+(y-0)^2=r^2 \rightarrow x^2+y^2=r^2

Dari persamaan diatas, juga dapat ditentukan letak suatu titik terhadap lingkaran tersebut.

gambar persamaan lingkaran

Contoh:

Persamaan lingkaran yang diketahui Pusatnya O (0,0) dan berjari-jari 10

Pembahasan:

X2 + y2 = r2
X2 + y2 = 102
X2 + y2 = 100

Jadi, persamaan lingkarannya adalah X2 + y2 = 100

 

 

D. Kriteria Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran dengan Persamaan Umum

  x^{2} + y^{2} = r^{2}

Bentuk persamaan lingkaran x^{2} + y^{2} = r^{2} memiliki pusat di titik O(0, 0) dengan panjang jari-jarinya adalah r. Letak suatu titik terhadap lingkaran dapat dilihat pada daftar berikut.

1. Titik terletak di dalam lingkaran jika x^{2} + y^{2} < r^{2} 

2. Titik terletak pada lingkaran jika x^{2} + y^{2} = r^{2} 

3. Titik terletak di luar lingkaran jika x^{2} + y^{2} > r^{2}


contoh 1

Selidikilah letak titik (3, 4) pada lingkaran dengan persamaan x^{2} + y^{2} = 25!
Pembahasan:
Substitusi titik (3, 4), nilai x = 3 dan y = 4, pada lingkaran x^{2} + y^{2} =25. 

   \[ (3)^{2} + (4)^{2} = 9 + 16 =25 \] 

Karena 25 = r , maka titik (3, 4) terletak pada lingkaran 


contoh 2

Tentukan kedudukan titik A(5,6) terhadap lingkaran yang mempunyai titik pusat P(3,-4) dan jari jari 5

Pembahasan:

(x - a)² + (y - b)² = r²

(x - 3)² + (y + 4)² = 25       ---> masukan titik (5, 6)

(5 - 3)² + (6 + 4)² = 25

4 + 100 = 25

104 > r, maka titik (5,6) terletak di luar lingkaran


at

No comments:

Post a Comment

Subscribe to: Post Comments (Atom)