BAB III
KONKRUENSI
SEGITIGA
PENDAHULUAN
Pada
kondisional jika p maka q, disebut anteseden dan q disebut konsekuen. Tabel
kebenaran dari kondisional ini dapat dilihat pada tabel berikut ini.
p
q p→q
B B B
B S S
S B B
S S B
Jadi kalau p
bernilai benar dan p → q bernilai benar maka dapat dipastikan bahwa
q juga bernilai benar. Dalam geomerti hal ini selanjutnya ditetapkan sebagai
aksioma.
Aksioma
Jika
diketahui bahwa p→q benar serta p benar maka q benar
Penggunaan
dalam geometri misalnya
Jika suatu
segitiga samakaki maka sudut-sudut alasnya konkruen.
Diketahui ∆ ABC
samakaki dengan sudut alasnya ∠ B dan ∠ C
maka dapat disimpulkan bahwa ∠ B ≅ ∠ C
TEOREMA-TEOREMA SEDERHANA
a. Teorema Kenkruensi Sudut Siku-siku
Jika dua sudut masing-masing sudut siku-siku
maka mereka konkruen dan ∠ PQR siku-siku. Maksud dari teorema ini jika
diketahui ∠ ABC siku siku dan ∠ PQR siku-siku maka ∠ ABC ≅ ∠ PQR
A P
B C R Q
Bukti:
Diketahui ∠ ABC siku-siku maka menurut
definisi m ∠ABC=900
Demikian pula diketahui ∠PQR siku-siku maka m ∠PQR=900
Menggunakan sifat simetris karena m ∠PQR = 90
0 maka 900= ∠PQR
Karena m ∠ABC = 900 dan 90 = m ∠PQR
menurut sifar transitif relasi “=” maka m ∠ABC =m ∠PQR, sehingga menurut
definisi konkruensi sudut disimpulkan ∠ ABC ≅ ∠ PQR
b. Teorema Konkruensi Sudut Lurus
Jika dua sudut adalah lurus maka mereka
konkruen
Misalnya, ∠A sudut lurus dan ∠B sudut lurus maka∠ A ≅ ∠B
c. Teorema Sudut Beruplemen
Jika dua sudut masing-masing bersuplemen
dengan suatu sudut (yang sama) maka mereka konkruen
Maksud dari teorema ini adalah jika ∠ A
bersuplemen dengan ∠P dan ∠B bersuplemen dengan∠ P maka ∠A ≅ ∠ B
d. Teorema Sudut Berkomplemen
Jika dua sudut masing-masing berkomplemen dengan
suatu sudut yang sama maka mereka konkruen
e. Teorema 5
Jika dia sudut masing-masing merupakan
suplemen dari dua sudut yang konkruen maka mereka konkruen
Misalnya;
∠A bersuplemen dengan ∠P
∠
B bersuplemen dengan ∠Q serta ∠ P
∠Q
Maka ∠A
∠ B
f. Teorema 6
Jika dua sudut masing-maasing berkomplemen
dengan sudut-sudut yang konkruen maka mereka konkruen.
Berikut ini akan dibicarakan tentang
sudut-sudut bertolak belakang. Sebelumnya didefinisikan dulu tentang
sinar-sinar berlawanan sebagai berikut:
Definisi
Sinar-sinar berlawanan adalah dua sinar yang
berbeda pada garis yang sama dan bersekutu di titik pangkalnya.
.
C A B
AB dan AC adalah sinar berlawanan
Selanjutnya sudut lurus dapat dinyatakan
seperti definisikan berikut ini
Definisi
Sudut lurus adalah sudut yang kaki-kakinya
merupakan sinar-sinar berlawanan.
Definisi
Sudut – sudut bertolak belakangan adalah dua
sudut sedemikian sehingga kaki-kaki sudut yang satu merupakan sinar – sinar
berlawanan dengan kaki-kaki sudut kedua.
A D
3
1 2
B
C E
g. Teorema Sudut Bertolak Belakang
Jika
dua sudut bertolak belakang maka mereka konkruen
Maksudnya ∠1 dan ∠2 adalah sudut – sudut
bertolak belakang maka ∠ 1 ≅ ∠ 2
Bukti
Perhatikan gambar di atas.
Diketahui ∠1 dan ∠ 2 bertolak belakang, maka
menurut definisi BA dan BE sinar – sinar berlawana . Karena itu menurut
definisi sudut lurus berarti ∠ABE adalah
sudut lurus, sehinggan m∠ ABE =180.Menurut definisi jumlah sudut
M∠2+ m∠
3 =m ∠ABE ,karena m ∠ABE =180 maka m ∠2 + m∠3=180.
Menurut definisi sudut bersuplemen maka ∠2
dan ∠3 bersuplemen . Dengan cara serupa menurut definisi BC dab BD sinar –
sinar berlawanan . Karena itu menurut definisi sudut harus berarti ∠CBD adalah
sudut lurus , sehingga m∠ CBD=180.
Menurut definisi jumlah m ∠1 + m ∠3 = ∠CBD,
karena m ∠CBD =180 maka m∠ 1 + m∠ 3
=180. Menurut definisi sudut bersuplemen maka ∠1 dan ∠3 bersuplemen. Karena itu
∠1 dan ∠3 bersuplemen dan ∠2 dan∠ 3 juga bersuplemen menurut teorema sudut
bersuplemen ∠ 1 ≅ ∠2.
Teorema
berikut ini teorema yang menyangkut bilangan real, penggunaanya dalam geometri
tentu saja yang berhubungan dengan ukuran baik ukuran sudut maupun ukuran
segmen.
h. Teorema 8
Untuk a,b,x dan y bilangan real ,jika a = x
,b = y dan x = y maka a = b
Bukti
Diketahui a = x dan x = y menggunakan sifat
transitif relasi sama dengan di dapat a = y. Diketahui juga b = y menurut sifat
simetri maka y = x .Selanjutnya dari a = y dan y = x menggunakan sifat
transitif didapat a = b.
Dalam terapannya teorema ini dibagi dua
teorema yaitu teorema konkruensi segmen atau ruas garis dan teorema konkruensi
sudut seperti berikut ini.
i. Teorema Konkruensi Segmen
Jika dua segmen masing – masing konkruen
dengan segmen – segmen yang konkruen maka mereka konkruen.
Misalnyal AB ≅ PQ ,CD ≅ RS ,dan PQ ≅ RS maka
AB ≅ CD
j. Teorema Konkruensi Sudut
Jika dua susut masing – masing konkruen
dengan sudut – sudut yang konkruen maka mereka konkruen
Misalnya ∠A ≅ ∠P , ∠B ≅ ∠Q serta ∠P ≅ ∠Q maka
∠A ≅ ∠B
SEGITIGA KONKRUEN
Poligon
Suatu
poligon adalah gabungan dari himpunan titik P1,P2,P3,....,Pn
dan ruas garis –ruas garis P1P2 , P2P3
, P3P4.......Pn-1Pn ,sehingga jika
dua ruas garis berpotongan maka titik potongnya adalah satu dari titik – titik
P1,P2,P3.....Pn dan bukan titik
yang lain .
Titik –
titik P1,P2,P3.....Pn masing –
masing disebut titik sudut . Ruas garis – ruas garis disebut sisi- sisi poligon
dan P1,P2,P3.....Pn disebut sudut –
sudut poligon.
Korespondensi pada poligon
Jika
dua poligon mempunyai jumlah titik sudut yang sama maka dapat diadakan
korespondensi satu – satu antara titik sudut – titik sudutnya. Misalnya poligon
ABCD dan poligon PQRS dapat diadakan korespondensi satu – satu seperti berikut
ini :
ABCDE PQRST
atau ABCDE RSTPQ
ABCDE TPQRS
dan sebagainya
Jika ABCDE
berkorespondensi dengan PQRST berarti
∠A ∠P , ∠B ∠Q dan seterusnya
AB PQ ,CD RS dan seterusnya
Definisi
Sudut – sudut koresponding dari dua poligon
adalah dua sudut yang titik titik sudutnya merupakan pasangan dalam
korespondensi antara titik – titik sudut kedua poligon .
Definisi
Sisi – sisi koresponding dari dua poligon
antara dua sisi yang titik – titik ujungya merupakan pasangan elemen yang
berkorespondensi dalam korespondensi antara titik – titik sudut kedua poligon.
Poligon konkruen
Dua poligon
dikatakan konkruen jika terdapat korespondensi satu – satu antara titik – titik
sudutnya sehingga semua sisi korespondingnya konkruen dan semua sudut
korespondingnya konkruen
Jadi jika
ABCD konkruen dengan PQRS ditulis ABCD PQRS maka
AB ≅ PQ , CD
≅ RS , BC ≅ QR dan AD ≅ PS serta
∠A ≅ ∠P, ∠B ≅ ∠Q , ∠C ≅ ∠R , ∠D ≅ ∠S dan sebalinya
Konkruensi Segitiga
Segitiga
adalah segitiga yang mempunyai tiga sisi
Khusus untuk
segitiga konkruensi dua segitiga dinyatakan oleh aksioma sisi sudut sudut
berikut ini,
Aksioma S-SD-S
Dua segitiga dikatakan konkruen jika terdapat
korespondensi satu – satu antara titik – titik sudutnya sehingga dua sisi dan
sudut apitnya dari segitiga pertama konkruen dengan bagian – bagian
korespondingnya pada segitiga kedua.
Aksioma SD-S-SD
Dua segitiga dikatakan konkruen jika terdapat
korespondensi satu – satu antara titik – titik sudutnya sehingga dua sisi dan
sisi yang memuat sudut itu pada segitiga pertama konkruen dengan bagian –
bagian korespondingnya pada segitiga kedua.