Persamaan Lingkaran

A. Pengertian Persamaan Lingkaran

Lingkaran merupakan himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik. Koordinat dari titik-titik tersebut ditentukan lewat susunan persamaan lingkaran. Ini ditentukan berdasarkan panjang jari-jari dan koordinat titik pusat lingkaran.

Dalam Persamaan lingkaran, terdapat persamaan umum, seperti dibawah ini :

Dari persamaan diatas, dapat ditentukan titik pusat serta jari-jari lingkarannya, yaitu:

Titik pusat lingkaran

$P(a, b) = P(- \frac{1}{2}A, - \frac{1}{2}B)$

Dan untuk jari-jari lingkaran adalah

$r= \sqrt{(\frac{1}{2}a)^2+(\frac{1}{2}b)^2- C} = \sqrt{\frac{1}{4}A^2 + \frac{1}{4}B^2 - C}$

CONTOH SOAL
Jari-jari dan pusat lingkaran yang memiliki persamaan x² + y² + 4x − 6y − 12 = 0 adalah... Tentukan:
a) titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran

PEMBAHASAN
x² + y² + 4x − 6y − 12 = 0

A = 4
B = −6
C = −12

Pusat:

Jari-jari:

Sehingga jari-jari dan pusatnya adalah 5 dan (−2, 3).

B. Persamaan Lingkaran pada koordinat (a,b) dan jari-jari r

Dari sebuah lingkaran jika diketahui titik pusat dan jari-jari nya, akan didapatkan yaitu dengan rumus :

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

Dari persamaan diatas, juga dapat ditentukan letak suatu titik terhadap lingkaran tersebut

Contoh:

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (3,-2) dan melalui titik (5,4).

Pembahasan:

(x – 3)² + (y – (-2))² = r²(x – 3)² + (y + 2)² = r^{2 __}-> melalui (5,4)
(5 – 3)² + (4 + 2)² = r²2² + 6² = r²4 + 36 = r²r² =40

jadi, persamaan lingkarannya adalah (x – 3)² + (y + 2)² = 40

C. Persamaan lingkaran dengan dengan pusat O(0,0) dan jari-jari r

Persamaan lingkaran jika titik pusat di O(0,0), maka subtitusi pada bagian sebelumnya, yaitu:

$(x-0)^2+(y-0)^2=r^2 \rightarrow x^2+y^2=r^2$

Dari persamaan diatas, juga dapat ditentukan letak suatu titik terhadap lingkaran tersebut.

gambar persamaan lingkaran

Contoh:

Persamaan lingkaran yang diketahui Pusatnya O (0,0) dan berjari-jari 10

Pembahasan:

X² + y² = r²X² + y² = 10²X² + y² = 100

Jadi, persamaan lingkarannya adalah X² + y² = 100

D. Kriteria Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran dengan Persamaan Umum

$x^{2} + y^{2} = r^{2}$

Bentuk persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ memiliki pusat di titik O(0, 0) dengan panjang jari-jarinya adalah $r$ . Letak suatu titik terhadap lingkaran dapat dilihat pada daftar berikut.

1. Titik terletak di dalam lingkaran jika $x^{2} + y^{2} < r^{2}$

2. Titik terletak pada lingkaran jika $x^{2} + y^{2} = r^{2}$

3. Titik terletak di luar lingkaran jika $x^{2} + y^{2} > r^{2}$

contoh 1

Selidikilah letak titik (3, 4) pada lingkaran dengan persamaan $x^{2} + y^{2} = 25$ !
Pembahasan:
Substitusi titik (3, 4), nilai x = 3 dan y = 4, pada lingkaran $x^{2} + y^{2} =25$ .

$(3)^{2} + (4)^{2} = 9 + 16 =25$

Karena 25 = r , maka titik (3, 4) terletak pada lingkaran

contoh 2

Tentukan kedudukan titik A(5,6) terhadap lingkaran yang mempunyai titik pusat P(3,-4) dan jari jari 5

Pembahasan:

(x - a)² + (y - b)² = r²

(x - 3)² + (y + 4)² = 25 ---> masukan titik (5, 6)

(5 - 3)² + (6 + 4)² = 25

4 + 100 = 25

104 > r, maka titik (5,6) terletak di luar lingkaran

google-site-verification: googlef417792f111ca472.html

SIMPANG RERATA, VARIANSI dan SIMPANGAN BAKU data KELOMPOK

SIMPANG RERATA

Simpangan rata-rata (mean deviation) adalah rata-rata jarak antara nilai-nilai data menuju rata-ratanya atau rata-rata penyimpangan absolut data dari rata-ratanya. berikut rumusnya

VIDEO PENJELASAN

RAGAM/ VARIANSI

Rumus varian dan standar deviasi data berkelompok tidak jauh berbeda dengan rumus varian dan standar deviasi data tunggal. Berikut adalah varian dan standar deviasi untuk data berkelompok.

SIMPANGAN BAKU/ STANDAR DEVIASI

VIDEO PENJELASAN

TUGAS MANDIRI

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

(SPLTV)

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) yaitu suatu persamaan matematika yang terdiri atas 3 persamaan linear yang juga masing – masing persamaan bervariabel tiga (misal x, y dan z).

Sistem Persamaan linear tiga variabel (SPLTV) juga dapat diartikan sebagai sebuah konsep dalam ilmu matematika yang digunakan untuk menyelesaikan kasus yang tidak dapat diselesaikan menggunakan persamaan linear satu variabel dan persamaan linear dua variabel.

1. Metode Substitusi

Contoh:

Carilah himpunan penyelesaian SPLTV berikut dengan metode substitusi

Pembahasan:

Jadi, HP SPLTV itu adalah {(5,3,7)}

2. Metode Eliminasi

contoh:

Diberikan sistem persamaan linear tiga variabel:

(i) x – 3y + z = 8
(ii) 2x + 3y – z = 1
(iii) 3x – 2y – 2z = 7

pembahasan:

Eliminasi z dari persamaan (i) dan (ii):

Diperoleh nilai x = 3

Selanjutnya, eliminasi x dari persamaan (i) dan (ii):

Eliminasi X dari persamaan (ii) dan (iii):

Eliminasi z dari persamaan (iv) dan (v) untuk mendapatkan nilai y:

Eliminasi y dari persamaan (iv) dan (v) untuk mendapatkan nilai z:

Diperoleh nilai ketiga variabel yang memenuhi sistem persamaan yaitu x = 3, y = – 1, dan z = 2.

LATIHAN MANDIRI

Invers Matriks 2x2

Invers Matriks 2x2

Invers matriks dapat diartikan sebagai kebalikan dari suatu matriks tertentu. Jika suatu matriks bujur sangkar $A$ dikalikan terhadap inversnya yaitu matriks bujur sangkar $A^{-1}$ maka menghasilkan matriks I (matriks identitas pada operasi perkalian matriks).

Saya akan membagikan beberapa karakteristik inversi. Sifat-sifat dari matriks terbalik adalah sebagai berikut :

AA‾¹ = A‾¹A = I
AB‾¹ = B‾¹A‾¹
(A‾¹)‾¹ = A
Jika XA = B, maka X = BA-¹
Jika AX = b, maka X = A-¹B

Secara umum, rumus invers matriks dapat ditulis sebagai berikut :

Contoh Soal:

Tentukan Invers dari data berikut :

Jawab :

Kita cari adjoinnya dengan cara cepat.

Dengan cara cepat kita hanya tinggal memindakan atau menukar posisi elemen yang ada pada baris pertama kolom pertama dengan baris ke-dua kolom ke-dua. Kemudian elemen baris pertama kolom ke-dua dan elemen baris kedua kolom pertama dikali dengan (-1)

Maka menjadi adjoin matriks di atas adalah :

Kemudian kita cari determinan seperti biasa yaitu

det. = (1 x 4 ) - (2 x 3 )

= 4 - 6

= -2

Maka invers dari matiriks di atas adalah :

TUGAS INDIVIDU

Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan Fungsi Trigonometri

Teorema turunan fungsi trigonometri berikut akan sangat berguna dalam menyelesaikan persoalan turunan di sini.

Misalkan $f (x)$ menyatakan suatu fungsi dan $f^{'} (x)$ menyatakan turunan pertamanya.

Soal Nomor 1
Turunan dari $y = 3 \sin x - \cos x$ adalah $\dots \cdot$

$\dots \cdot$

Soal Nomor 2
Hasil diferensial dari $T (x) = (\sin x + 1) (\sin x - 2)$ adalah $\dots \cdot$

Pembahasan :

Soal Nomor 3
Turunan pertama dari fungsi $y = \cos (2 x^{3} - x^{4})$ adalah $\dots \cdot$

$\dots \cdot$ Pembahasan:

Contoh Video

TUGAS MANDIRI

Penyajian data Histogram, Poligon, Ogiv positif dan negatif

Histogram

Data yang telah disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dapat disajikan dalam bentuk diagram yang disebut histogram, yaitu diagram kotak yang lebarnya menunjukkan interval kelas, sedangkan batas-batas tepi kotak merupakan tepi bawah dan tepi atas kelas, dan tingginya menunjukkan frekuensi pada kelas tersebut.

Poligon

Apabila titik-titik tengah kelas dihubungkan satu sama lain oleh ruas-ruas garis maka diperoleh poligon frekuensi. Untuk lebih memahami mengenai histogram dan poligon frekuensi, perhatikan contoh berikut.

Ogive

Ogive adalah grafik yang digambarkan berdasarkan data yang sudah disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi kumulatif. Untuk data yang disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi kumulatif kurang dari, grafiknya berupa ogive positif, sedangkan untuk data yang disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari, grafiknya berupa ogive negatif.

Ogive Positif

Frekuensi kumulatif kurang dari (ogive positif) untuk suatu kelas adalah jumlah frekuensi semua kelas sebelum kelas tersebut dengan frekuensi kelas itu.

Ogive Negatif

frekuensi kumulatif lebih dari (ogive negatif) suatu kelas adalah jumlah frekuensi semua kelas sesudah kelas tersebut dengan frekuensi kelas itu

Pengertian Dan Metode Penyelesaian SPLDV

Pengertian SPLDV

SPLDV adalah suatu sistem persamaan atau bentuk relasi sama dengan dalam bentuk aljabar yang memiliki dua variabel dan berpangkat satu dan apabila digambarkan dalam sebuah grafik maka akan membentuk garis lurus. Dan karena hal ini lah maka persamaan ini di sebut dengan persamaan linier.

Ciri – Ciri SPLDV

Menggunakan relasi tanda sama dengan ( = )
Memiliki dua variabel
Kedua variabel tersebut memiliki derajat satu ( berpangkat satu )

Komponen dalam SPLDV

a. Suku

Suku yaitu bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, koefisien dan konstanta. Dan setiap suku di pisahkan dengan tanda baca penjumlahan ataupun pengurangan

Contoh :

6x – y + 4 , maka suku – suku dari persamaan tersebut adalah 6x , -y dan 4

b. Variabel

Variabel , yaitu peubah atau pengganti suatu bilangan yang biasanya dilambangkan dengan huruf seperti x dan y .

Contoh :

Mika memiliki 2 buah nanas dan 5 buah jeruk.

Jika dituliskan dalam bentuk persamaan adalah

Nanas = x
Jeruk = y
Persamannya adalah 2x + 5y

c. Koefisien

Koefisien yaitu suatu bilangan yang menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis. Koefisien disebut juga dengan bilangan yang ada di depan variabel, karena penulisan sebuah persamaan koefifien berada di depan variabel

Contoh :

Mika memiliki 2 buah nanas dan 5 buah jeruk. Jika di tulis dalam bentuk persamaan adalah :

Jawab :

Nanas = x dan Jeruk = y
Persamannya adalah 2x + 5y
Dimana 2 dan 5 adalah koefisien. Dan 2 adalah koefisien x dan 5 adalah koefisien y

d. Konstanta

Konstanta yaitu bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, maka nilainya tetap atau konstan untuk berapapun nilai perubahnya

Contoh :

2x + 5y + 7 , dari persamaan tersebut konstanta adalah 7 , karena 7 nilainya tetap dan tidak terpengaruh dengan berapapun variabelnya

Itulah beberapa hal yang berhubungan tentang bentuk umum spldv untuk kita pahami sebelum kita memahami tentang rumus spldv.

Metode Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Untuk menyelesaikan cara menghitung spldv (sistem persamaan linier dua variabel) maka dapat diselesaikan dengan 4 metode berikut ini :

Metode Substitusi
Metode Eliminasi
Metode Gabungan (Subsitusi dan Eliminasi)

BELAJAR MATEMATIKA

Persamaan Lingkaran

CONTOH SOAL
Jari-jari dan pusat lingkaran yang memiliki persamaan x² + y² + 4x − 6y − 12 = 0 adalah... Tentukan:
a) titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran